@ 2017.12.08 , 12:30
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数值计算领域的新突破

数值计算领域的新突破
大卫希尔伯特 | Wikipedia

最近欧洲数学学会(EMS)刊发了一篇名为《数值无限大与无限小:两个希尔伯特问题的方法论,应用和影响》的论文,描述了一种最新的计算方法,涉及数学对象与离散的数字系统间的联系。它允许数学家在用到所有需要的概念的情况下,在一个独特的计算框架中用无穷大和无穷小来进行数值计算。这种方法与康托的集合理论并无矛盾,它基于欧几里德的“通用的概念”——几何原本中的公理5:整体比部分更大,适用于所有的数量(有限的,无限的和无穷小的)以及所有的集合和过程(有限的和无限的)。意大利的逻辑学家Gabriele Lolli教授业已证明该方法本身是自洽无矛盾的。

我们知道自然数1、2、3,……是无限多的,这意味着我们可以一直数下去,直到时间的尽头。从另一个角度来说,2和3之间不存在其他的整数,所以,3是2后面紧挨着的下一个数,类似的,每个自然数都有后面下一位的数字。而实数,诸如0、0.14、π、e等等构成了一条直线。什么意思呢,就是说实数的个数是无法“数”的,因为不存在1后面紧挨着的另一个实数。比如说,1和1.01,我总能写出一个1.0001或1.000000001放到他们之间。评论里提到了有理数,有理数在重排顺序之后,是可以写出1后面下一个数字的,只是这种顺序与自然大小顺序失去了联系,实际上,即使对实数进行任何可能的重新排布,也无法做到这一点;而实数显然也是无限多的,我们称这种无限多叫连续统。

所谓的连系统假设就是,数学家康托猜测,在自然数这种无限多和实数连续统之间,不存在第三种类型的无限多。现代的数理逻辑已经证明了,连续统假设是独立于我们常用的公理系统的。也就是说,无论它正确与否,都不会与通常的数学结论相互冲突。

大卫·希尔伯特在他著名的提出23个重要问题的演讲中(David Hilbert)将其列为大名鼎鼎的第一号问题,而第八号问题就是同样著名的黎曼猜想。

这种新的数值手段需要利用到一种新型超级计算机——无穷大计算机。通过特别定义的逻辑结构,我们可以在其上对涉及无限的对象进行数值计算,而传统的理论只能象征性地处理无穷大和无穷小。它类似当初的非标准分析,处理可以带有无限小数符号的数字系统。无穷大计算机彻底改变了整个数值计算理论的全景,将计算可能性的视界扩大到了不同的数值无限大和无穷小。论文中说,传统的数字系统限制了计算机计算能力,并导致了理论断言的模糊性。新的方法使用与传统一致的数字系统来测量无限集合,使在计算机上精确地处理发散序列、概率、分形、优化问题、数值微分,ODE(常微分方程)等等成为可能。

特别是,这种新方法使研究人员能够以比传统工具更高的精度考察连续统假设和黎曼ζ函数中的复杂抽象的数学对象。这两个问题的难点都来自在于传统的数字系统天生的弱点。在Infinity计算机网页上可以找到获取更多信息:http://www.theinfinitycomputer.com

本文译自 phys,由译者 majer 基于创作共用协议(BY-NC)发布。


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TOTAL COMMENTS: 44+1

  1. 核弹狂魔
    @1 month ago
    3637879

    只看过希尔伯特空间

  2. 3637888

    哇塞,真是巨大的进步..恩我猜我应该这样吐槽才对吧…….谁来救救我们,解释一下这个文章

  3. 3637899

    连吐槽都不知道该怎么吐了。

  4. 正直者
    @1 month ago
    3637908

    这篇文章背景介绍的部分比实际内容多很多

  5. 正直者
    @1 month ago
    3637909

    这篇文章背景介绍的部分比实际内容多很多

  6. 正直者
    @1 month ago
    3637912

    以及这篇文章中对于连续统的科普是错误的,按他的说法有理数集也是连续统了

  7. 山东省地方
    @1 month ago
    3637914

    妈的又是每个字都认识系列,来煎蛋越久越觉得自己没文化,看个段子都是如此。

  8. 3637931

    这是瘦版让雷诺

  9. 正直者
    @1 month ago
    3637933

    回应小编的说法,这种意义的良序实数也是有的,良序定理保证了存在性。小编说的大概是指分数可以和整数完成一一对应的映射。

  10. KAKAc罗特
    @1 month ago
    3637938

    这篇文章要是认真看的话,是能看懂的。就如楼上所说这篇文章背景介绍的部分比实际内容多很多,终于赶上一篇每个字都认识,连在一起也认识的文章,可要切入正题的时候往后看就没有了…

  11. aaaaaaa
    @1 month ago
    3637943

    美帝科学计算phd现身说法…一般个人电脑双精度只有16位精度,所以一些数字小于约1e-16或者大于约1e16就会出现丢精度的情况 数值分析和科学计算里面很多需要学习的地方就是为了避免这种丢精度的情况 现在如果有了这种可以考虑无穷的计算机 感觉很多算法 比如数值线性代数和数值pde就不用再考虑收敛速度之类 因为完全是exact的

  12. 正直者
    @1 month ago
    3637946

    我来说明在给定实数一个良序的情况下怎么给出下一个数,所有在这个序下比他给定实数大的数组成的集合的下确界就是下一个数。这个数法只是不能和整数一一对应把整个实数遍历。

  13. 正直者
    @1 month ago
    3637947

    更正,不是下确界是最小元素

  14. 大海的方向
    @1 month ago
    3637953

    计算机不会再报除零错了?

  15. 3637971

    不是数学系的连基本的实分析都没读过的就不要秀了
    各种装被专业的一眼看穿的时候很无趣的
    有这功夫。。。
    算了实分析你们也没耐心读也读不懂
    继续装吧,除此之外还能干嘛

  16. 3637976

    或许是文章没仔细写?看了半天没看出哪有突破……这不是Mathematica早就有的能力了吗……

  17. 卡拉大狗
    @1 month ago
    3637984

    合起来的每一个字,我都看不懂。

  18. Tabrispe
    @1 month ago
    3638021

    这篇文章让我想起了当年不知好死地选了数值分析选修时听的第一堂课
    然后我就放弃了

  19. YourDaddy
    @1 month ago
    3638080

    洋葱骑士还搞数学?

  20. 3638084

    他的寿命是无限多

  21. 3638144

    @baoo:

    你这么有能耐,那就给大家科普一下吧。否则,光是冷嘲热讽只能算更漏的一个逼货。

  22. 3638229

    1/2 = 1-1+1-1+1-1…
    现在超算也能得出正确结果了?

  23. 小彘
    @1 month ago
    3638273

    我为什么要点进来系列

  24. 呵了个呵
    @1 month ago
    3638277

    @aaaaaaa: emmmmmmmm。。

  25. 胡言乱语
    @1 month ago
    3638309

    我不但是数学专业的,而且差不多是这篇文章同领域了吧。但是我看这篇文章,都不知道他想说啥。
    @正直者: 我完全不知道你想说啥。不是讽刺,是不明觉厉。
    @aaaaaaa: 我也不知道你想说什么,隐约感觉是错的。
    @baoo: 你好像很厉害的样子,不是讽刺。能不能给我解释一下这篇文章说什么,还有以上2人在说什么?

  26. 胡言乱语
    @1 month ago
    3638310

    @baoo: 而且,我高度怀疑你也不太懂的样子。文章我看得不太明白,但如果我猜得没错,应该跟实分析关系不大。
    而且非数学专业学生(刚刚学了实分析感觉自己很牛B的)和一些数学系低等学生最喜欢拿出来秀优越感的就是实分析。

  27. 卡比
    @1 month ago
    3638355

    什么是实分析

  28. 3638368

    http://wwwinfo.deis.unical.it/yaro/EMSS_Sergeyev.pdf

    102页的论文。等摘要等科普

  29. 胡言乱语
    @1 month ago
    3638425

    @fi: 太长懒得看,看了第一行,觉得这厮在吹牛。要不是吹牛,肯定诺奖

  30. 瞳酱prpr
    @1 month ago
    3638447

    Continuum
    …In the mathematical field of set theory, the continuum means the real numbers, or the corresponding (infinite) cardinal number…
    无穷是个概念 不仅仅是指数量 实数轴只是具体的体现之一 自然数的无穷和实数的无穷哪个比较大(多?)?当n是自然数时 2n的”无穷”和2^n的”无穷”相比较呢 或者说0-1之间的有理数比较多还是无理数比较多?扯到计算机上那就是可计算性的内容 比如阿克曼函数 这种不可计算函数(停机问题也算) 互相比较看看呢 vsauce有一期讲过这玩意 关键词aleph-null
    既然无穷和无穷可以相比较 按集合论的理论而言 那就是有序的 这和现在的计算系统不矛盾 只是传统的数字系统不能精确的表示它而已 (一概用∞象征性的表示)

  31. sarcophile
    @1 month ago
    3638512

    @aaaaaaa: 你确定你说的没错?我超级怀疑啊啊啊啊!计算机现在都是64位的好不好,上一代也是32位的,嵌入式主流也是32位的。以64位为例,精度也不是1e64或者1e -64,1e-64表示1*10的-64次方哎好不好,64位意味着应该是2的-64次方而不是10的-64次方
    另外。。。数值计算确实有精度问题,然而并不是主要问题,因为现有精度在工程上完全足够了。数值计算要解决的主要问题是用来代替符号推导、离散系统和连续系统的差异(参考采样定理)什么的。
    本文计算机的意义肯定不在于工程、技术应用,而在于科学研究吧

    你。。。真的是。。。我好想知道你科学计算 都学那几门课啊啊啊啊啊

  32. 景烽
    @1 month ago
    3638560

    想法不错,落实到硬件实现呢?

  33. wxd9321
    @1 month ago
    3638562

    总觉得他说的计算方法很多数学工具都能实现。就算在网页上也有wolframalpha能实现。

  34. 3638584

    @KAKAc罗特: 确实,认真看过文章后,发现背景知识交代很多,但是到实际内容的时候又没说出什么就结束了…

  35. flm8620
    @1 month ago
    3638619

    看了前50页,觉得很有意思,文章写得比较通俗易懂。虽然自己只是应用数学系的,但是也说说大概意思吧。希望能帮助大家理解。

    作者首先说服读者,我们对数学的认知是被我们所用的记数系统(numeral system)限制住的。越高级的记数系统能把数学的真相看的越仔细。

    作者举了个例子。皮拉罕(Pirahã)部落里的人只会数三种数,1,2,many。多余2个的事物统称为“很多”。然而这也是个记数系统。1+1=2,1+2=many,2+2=many,many+1=many,many+many=many。这些运算没什么错,但是不够精确,无法分辨2+2和1+2的区别。

    你认为皮拉罕部落的记数法太简陋?作者用这个例子提醒我们反思,实际上我们所认识的自然数公理在某种程度上也是简陋的,我们无法理解不同等级无穷大和无穷小。

    为了引入新的记数系统,作者举了个谷仓的例子。假设你有很多米,太多了一粒一粒数不过来。于是你把米装成一袋一袋,假设每袋米里米的数量都是一样的,并且假设一袋米里面可以装非常多的米以至于你用的记数系统根本无法数清到底有多少。假设一袋米里面能装1粒,2粒,3粒…一直能把代表所有自然数的米都装进去,刚刚好是一袋。我们把这袋米的数量叫做①。注意①是个新的数,是自然数集里最后一个元素。就像数字5属于集合{1,2,3,4,5}一样。(有可能有人觉得这是胡闹,但是想想皮拉罕部落)

    但是现在你可以用多少袋表示米的数量,并且进行运算。比如 ①-2, ①-1, ①/3 等等,它们都是自然数,而且是我们用常规自然数公理无法表达的数,就像数字3,4,5相对于皮拉罕部落。并且作者说,自然数的个数和所有偶数的个数是不相同的,分别是①和①/2。注意这并不和我们在学校学的集合的势相矛盾,我们往往认为自然数和偶数能一一对应,所以他们一样多。皮拉罕人认为4个苹果和8个苹果都是many,只是描述不精确。用①来描述集合的个数能让我们看的更确切,区分不同等级的无穷。

    于是新的数字被发明了。继续谷仓的例子,假设现在有很多袋米,多到数不清,于是我们把它们装进一节车厢,每辆车能装1,2,3…一共①袋米。所以一车皮里有①²粒米。假设一辆火车有①辆车皮,所以一辆火车有①³粒米。 比方说3辆货车零2车皮零4袋零5粒米的数量为:3①³+2①²+4①+5。

    同样,往无穷小的方向,想象一粒米由①个渣组成,一粒渣由①个原子组成,一袋米零两粒米零三粒渣零4个原子的数量为:①+2*①^0+3*①^(-1)+4*①(-2)。

    并且作者表示这种数是可以进行加减乘数运算的(类似于进制数的运算)。然后举了几个例子。比较有意思的例子是求导数。数值方法求导数一般是取一个很小的h,然后计算(f(x+h)+f(x))/h。但是当h太小了,一般的计算机就会出现数值误差。然而用了这种新的数字,我们可以取无穷小量①^(-1),并且计算f(x+①^(-1)),运用新的四则运算法则,我们会得到f(x+①^(-1)) = f(x)+a①+…,这个a就是f的一阶导。当然有的人会觉得这不就是一般的导数推导公式么,有意思的是你可以继续推导二阶导。研究f(x)-2f(x+①^(-1))+f(x+2①^(-1))的值。

    个人理解这篇文章的思想应该不算新。很多思想都是与很早就被提出的,感兴趣的蛋友可以参见“无限序数ω”,“阿列夫数ℵ”,“非标准分析Non-standard analysis”。其实非标准分析就是把无穷小当成真正存在的量来看待的。大学学过高数同学都会知道现代微积分是依靠“ε-δ语言”来绕过无穷小这种有歧义的概念的。但实际上二阶导符号 d²f(x)/dx² 里面的dx²最早就是被莱布尼兹认为是真正表示一个无穷小量的平方(dx)²,即一个比无穷小dx还要小的量。相当于此文中的①^(-1)与①(-2)。

    所以人的思维说不定真的是架构在人的语言之上,同时也被我们所用的语言限制住。

  36. Tentacle
    @1 month ago
    3638645

    @flm8620: 这怎么看都只是函数化而已啊,最多那个①函数是个分段函数,运算符也进行过再定义

  37. irakac
    @1 month ago
    3638653

    @sarcophile: 我不知道你哪里看的半瓶子数值分析… 64位浮点数的精度是2^-52(1位符号+11位阶码+52位尾数)即2.2E-16,而且这个精度在有些工程上是够用但科学计算中远远不够,一些条件差的问题比如求矩阵逆或者一些大型线性方程组的时候即使再微小的误差也会指数级地放大,更别说一些带有混沌性的问题只能能提一点精度近似多一点了

  38. 3638772

    向大家道歉,我不该在煎蛋引战,做自己讨厌的人。
    说是分析只是这个文章里的连续统。这个数值的文章我也没读,太长没看,也不做数值分析。
    根本没啥优越感,实变读到吐血也是个普通的样子。她是数学系很重要的一门基础课,也是本科时代给很多人留下痛苦回忆的一门。如果感兴趣去看(数学这个东西得一步一步学)私下觉的陶哲轩的好像比较深入浅出?(不过不是我们的课本,感觉老师们不选有道理吧) 我相信广阔的煎蛋肯定还有数学系的同学,请给大家推荐一些书,以免个人眼界误导大家。不过这都不是科普的书,也不是很浅显。如果有耐心读完并且老老实实地做完课后题,是很值得肯定和鼓励的事情,请有好奇心的民那桑加油,这个过程中你会有很大的收获。

  39. 3638773

    连续统假设是这样的:(这只是第一章集合论里的小故事,实分析要远远比这个问题广阔)
    首先要有一个集合的势 的概念,它是说一个无穷集合的大小(有限集的定义是平凡的)。既然是无穷集,那至少是数不完的。所以 两个集合比较要建立一个一一对应的规则,如果两个集合元素能够一一对应,那就是对等。就是有相同势。所以显然整数集和有理数集是等势的(这个势叫做阿列夫0,你可以构造一个一一对应)。然后还有实数啊,怎么办?显然N和R(1维实数轴)是不对等的。不然R中元素排成一列(r1,r2,…),总有数轴上一个单位区间不含有这个序列中的某个点(r1),然后构造三分集(你可以想想问什么是要三分),至少一个1/3的长度区间不含有r2,然后给这个区间如此依次三分下去。由实数稠密性(闭区间套定理),我们得到一个点,这个点不在排列的(r1,r2,…)里,这就得到了一个实数不在实数集里!这他妈的要掀桌子!矛盾了!所以假设的构造是错误的。因此不对等。所以说两个无穷集合也是可以不一样大的(所以我对我女神的思念比天上的星星还要多,因为前者是连续的)。然后给了良序的定义有了对应,有了比较,然后伯恩斯坦给了一个定理,两个集合互与对方子集对等,则两个集合对等(证明很简单,这里写不下了。)然后,实数集的势叫做阿列夫1,显然阿列夫0是最小的势。这两个势之间有没有另外一个集合的势呢?Cantor假设没有。这个假设,叫做连续统假设。Codel 和Cohen分别给出了相容性和独立性的证明。就是说这个公理不能证明不真,同时是否成立和集合论的其他什么公理都不冲突。

  40. 3638780

    以上,谢谢大家。

  41. aaaaaaa
    @1 month ago
    3638963

    @sarcophile: 去搜一下ieee float point之类的资料 就可以看到64位对实数只有16位精度 我们主要是学numerical analysis numerical linear algera numerical odepde numerical stochastic analysis 然后就是分析和pde那一些functional的东西 有些人做的跟物理相关一点的话会去学热统什么的 我就是做数值pde的 所以就是科学计算基本课和pde

  42. aaaaaaa
    @1 month ago
    3638968

    @sarcophile: 比较简单的一个问题说明16位不够用的 就是求矩阵inverse 所以大家就想各种方法来避免直接求矩阵inverse 这里面就有各种iterative method比如krylov subspace之类 很多时候并不简单 而且为了精度非常expensive 你如果对数值线性代数感兴趣的话 可以看一下trefethen的numerical lineae algebra或者demmel的applied num lin alg 我本身也不是做hardcore分析的 所以很多其他朋友提的硬分析问题我也不是很懂了就

  43. 小鹿乱撞
    @1 month ago
    3640949

    我是学习信息与计算科学的,听不懂!!

  44. Nagaru
    @1 month ago
    3649646

    @aaaaaaa: 文章看不懂就算了……现在评论区也看不懂了😂😂

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