@ 2017.04.14 , 12:00

黎曼猜想证明新进展

研究者发现著名的黎曼zeta函数的解相当于另一个不同类别的函数的解,这可能有助于更简单地解决数学中的重大问题之一——黎曼猜想。如果该结论能得到严格的证明,那么就有可能最终证明黎曼猜想,赢得克雷数学研究所悬赏的百万美元千禧年奖。先前有一些传言称证明了黎曼猜想,但克雷数学研究所均未正式承认并授予奖金。

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黎曼zeta函数及本研究提出的算子

黎曼猜想在1859年提出,在过去150年里数学家认为正确的算子函数是证明的关键一步,因而均试图找到合适的算子函数,最新的发现即为找到的一种。

英国布鲁内尔大学数学物理家、该研究的共同作者Dorje Brody说道:“据我们所知,这是首次明确的以及可能是相对简单的算子,其特征值正好对应于黎曼zeta函数的非平凡零点的虚部。”

仍待证明的是关键的第二步:所有特征值均为实数而不是虚数。如果未来可证实这一点,那就最终证实了黎曼猜想。

Brody和他的共同作者、圣路易斯的华盛顿大学的数学物理家Carl Bender以及加拿大西安大略大学的Markus Müller等一起在近期的物理评论快报上发表了该成果。

质数的位置

黎曼假设之所以如此诱人是因为其与数论联系紧密,特别是质数。德国数学家波恩哈德·黎曼在1859年的论文中,研究了质数的分布,或者更准确地说,给定一个整数N,比它小的数里面有多少质数?

黎曼推测质数的分布与某个函数的非平凡零点有关,该函数现今被称为黎曼zeta函数(虽然很容易发现负偶数为方程的零解,但这些零点被认为是平凡零点,并非方程中有意思的部分)。黎曼的假设是所有的非平凡零点都位于一条复平面的垂直线(1/2+it)(被称为临界线)上。

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黎曼zeta函数位于临界线上的值,即随着临界线的虚部值的变化,黎曼zeta函数的值

过去150年里,数学家逐个发现了万亿的非平凡零点,均位于这条直线上,正如黎曼所想的那样。现在学术界广泛认为黎曼的猜想是正确的,并在此假设基础上进行了大量的工作。尽管如此,黎曼假设——所有无限个零点均位于该直线上——仍未被证明。

等价解

证明黎曼假设的最有用的线索之一来自于函数论,揭示了零点的虚部值为离散值。这表明非平凡零点形成了离散数的集合,类似于物理中广泛应用的微分算子的特征值。

在1900年代早期,这种相似性使得某些数学家研究是否存在一个这样的微分算子,其特征值正好对应于黎曼zeta函数的非平凡零点的虚部。现今这个想法被称为希尔伯特-波利亚(Hilbert-Pólya )猜想,以David Hilbert和George Pólya之名命名,尽管他们并未发表任何与该想法相关的成果(Hilbert未曾将其录于文字,但波利亚在一封信件中以个人回忆的方式肯定了这一猜想的存在性。1981年12月8日,欧德里兹科给波利亚发去了一封信,询问希尔伯特-波利亚猜想的来龙去脉。当时波利亚已是九十四岁的高龄,卧病在床,基本不再执笔回复信件了,但欧德里兹科的信却很及时地得到了他的亲笔回复。毕竟,对一位数学家来说,自己的名字能够与伟大的希尔伯特出现在同一个猜想中是一种巨大的荣耀。波利亚在回信中这样写道:

“很感谢你12月8日的来信。我只能叙述一下自己的经历。
1914年初之前的两年里我在哥廷根。我打算向郎道学习解析数论。有一天他问我:‘你学过一些物理,你知道任何物理上的原因使黎曼猜想必须成立吗?’我回答说,如果zeta函数的非平凡零点与某个物理问题存在这样一种关联,使得黎曼猜想等价于该物理问题中所有本征值都是实数这一事实,那么黎曼猜想就必须成立。”)

Brody说道:“由于Hilbert或者Pólya并未发表相关论文,希尔伯特-波利亚猜想的准确表述某种程度上依赖于个人理解,但可以大致上说由两个步骤组成:a)找到一个运算符,其特征值对应于黎曼zeta函数的非平凡零点的虚部;b) 判断特征值是否为实数。我们目前为止工作重点是第一步。我们已经鉴定了一个运算子,其特征值正好对应于黎曼zeta函数的非平凡零点的虚部。我们刚开始思考第二步。我们现在还无法推测,完成这一步到底是困难还是容易,这需要进一步的工作。”

运算子

新发现的运算子一个有意思的方面是它与量子物理紧密相关。

1999年,数学物理家Michael Berry和Jonathan Keating正研究希尔伯特-波利亚猜想,提出了另一个重要的猜想。如果存在这样的运算子,那应该对应于具有特殊属性的理论量子系统,这在今天被称为贝里-基廷(Berry-Keating)猜想。但在此之前无人找到这样的系统,这是该新研究第二个重要的方面。

Brody说道:“我们为贝里-基廷哈密顿函数鉴定了一个量子化条件,从本质上确认了贝里-基廷猜想的正确性。”

哈密顿算符常被用于描述物理系统的能量。新的运算子似乎并不描述任何物理系统,而是相当于一个纯粹的数学函数。

Brody说道:“这可能令人失望,但这样的一个哈密顿算符似乎并不明显代表物理系统,或者说至少目前我们没有发现任何迹象可以表明该哈密顿算符对应于某个物理系统。那么有人可能要问‘为什么要在物理评论快报上发表?’答案就是,我们的论文中用于某些启发式分析的各种技术借鉴于过去15年中发展的伪厄米时空反演对称量子理论。希尔伯特-波利亚猜想的传统理解是运算子(哈密顿算符)应该是厄米共轭的,并自然将其联系到量子理论中,由此哈密顿算符照理必须是厄米共轭的。我们提出了希尔伯特-波利亚猜想的伪厄米形式,值得我们深入研究。”

实数解

现在剩下最大的挑战就是证明该运算子的特征值是实数。

通常,研究者乐观认为特征值是实数,并在文章中基于量子物理中的时空反演对称性说明这一点。大体上,时空反演对称性说如果改变时空的四个成分的标志(三维空间和一个时间维),对于具有时空反演对称性的系统,结果与之前相同。

虽然自然界通常并非时空反演对称的,物理学家构造的运算子却是的。不过现在研究者想证实这种对称性被打破了。他们在论文中解释道,如果可以证明运算子的虚部不具备时空反演对称性,那么就可说明特征值均为实数,最终构成黎曼假设的证明。

一般认为黎曼猜想的证明对于计算机科学,特别是密码学具有重要的意义。研究者还想确认他们的成果对理解基础数学原理的意义。

Brody说道:

“我们现在所探究的内容对数论没有多少意义,然而鉴于黎曼猜想在数论中的重要性,黎曼猜想证明的任何成功进展必然会带来数论上的进一步理解。也许在这种情况下无需这样,但探索我们的哈密顿算符描述的假设系统的动态方面是否与某些数论结论相关,也是蛮有意思的。从这方面来讲,对我们的哈密顿算符的半经典分析也可成为下一步的研究目标之一。”

为了便于理解,最后总结一下就是黎曼猜想的目的是证实黎曼zeta函数的零解在一条复平面的垂直直线上,证明思路是构造一个等价运算子,其特征值对应于这条直线的虚部。现在找到了这样的运算子,但还需要证明特征值是个实数就大功告成了。

本文译自 phys,由译者 CliffBao 基于创作共用协议(BY-NC)发布。


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