@ 2017.03.29 , 23:05

困扰数学家的沙发问题

沙发移动问题是指求取通过L形走廊转角的最大沙发,这看起来是个很简单的问题,但实际上已经困扰数学家们多年。

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最简单的方形解决方案,但显然并非最佳

搬运工会告诉你把沙发竖起来就行了。但是如果沙发无法被举起、挤压或者倾斜呢?尽管看起来仍然很容易解决,沙发移动问题已经困扰数学家超过50年了。对于数学家而言,不仅仅需要找到最大的沙发,而且需要证明这就是最大的沙发。缺乏后一步的证明,那么总是有可能某天某人提出更好的解决方案。

加州大学戴维斯分校数学系教授Dan Romik说:“这是个超乎想象的难题。这个问题简单到你可以用5分钟向一个孩子解释清楚,但没人能提出最好的解决方案及其证明。”

适应转角的最大沙发也被称为“沙发常数”,其中一个单位对应于走廊宽度。

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半圆形的沙发可以通过直角转弯,沙发常数为1.57

Romik最近基于3D打印技术,提出了沙发问题的一种变形——双面灵巧沙发问题的解决方法。双面灵巧沙发问题是指沙发必须能通过连续顺时针和逆时针的90度转角。他的发现已被发表在实验数学杂志。

发现的时刻

Romik专门研究组合数学,喜欢思考形状和结构的有关问题。但他对沙发移动问题的兴趣来源于他的一个爱好——他想3D打印一个沙发和走廊。“我对应用3D打印技术于数学研究感到兴奋。亲手移动某个东西能增强直觉。”

杰弗沙发(Gerver Sofa)类似于老式电话听筒,是目前单个走廊转角沙发移动问题中寻找到的最优解。Romik利用3D打印技术将杰弗沙发打印出来,对此产生了浓厚的兴趣,随即埋首于杰弗解决方案背后的数学原理。Romik随后7个月都在尝试提出新的解决方案,并编写计算机程序对杰弗的想法进行精炼和扩展。“在此过程中我没有想我正在进行研究,我只是在玩。然后在2016年1月,我因为某些事情必须暂时放下几个月。当4月份我重新编程的时候突然灵机一动,我用在杰弗沙发上的方法也许可以用在其他上面。”

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杰弗沙发是目前发现的单转角沙发移动问题的最优解,沙发常数为2.22单位,其中一个单位为走廊宽度

Romik决定处理两个转角的问题。为了设计出能通过两个转角的沙发,Romik利用软件设计出了类似于比基尼上装的形状,该形状为中间纤细的两条曲线对称组合。“当我第一次看到这个新形状的时候我正坐在咖啡厅里,那是个无比美妙的时刻。”

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沙发移动问题指求通过顺时针90度转角的最大形状。Dan Romik将此扩展为两个转角的问题,并提出“比基尼上装”形状的沙发是目前发现的最优解。

对称的发现

类似于杰弗沙发,Romik的双面灵巧沙发只是最好的猜想。但Romik的发现仍然能给人们带来关于该问题的数学上的思考:“虽然沙发移动问题看起来很抽象,但其解决方案涉及新的数学技术,可作为更复杂想法的基础。数学仍然有待发掘。”

本文译自 phys,由译者 CliffBao 基于创作共用协议(BY-NC)发布。


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