@ 2016.03.27 , 21:29
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灰姑娘的水晶鞋,跑起来居然会碎

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图表1

论文作者:H. Samaratunga, L. Tonks, H. S. Ahmed and M. Sadhra

摘要:

大家都知道,灰姑娘穿了双玻璃鞋去参加舞会;然而穿玻璃鞋的实际可操作性尚有待考证。鞋跟的安全高度取决于灰姑娘穿着它纯站着、或是得行走、奔跑。如果纯站着,鞋跟不管多高都没问题;如果需要穿上它行走,那么鞋跟高度只能在3.44cm到13.8cm之间;如果穿着它撒丫子奔跑,那么鞋跟高度只能在1.15cm到4.16cm之间。由于午夜时分,灰姑娘是跑着离开王子的,那么鞋跟的安全高度应该为1.15,这可比平时相关作品里的描述矮多了。

引言

根据众多灰姑娘故事不同版本的描述,灰姑娘的神仙教母给了她一双玻璃鞋。灰姑娘穿上这双鞋去参加舞会,对的,就是那场午夜时分她逃离王子怀抱的很有名的舞会。我们姑且假设:制成这双鞋的玻璃是钠钙玻璃——这是一种常见的玻璃。考虑到这种玻璃很易碎,它承受不了塑性变形,因此玻璃鞋在承受的力达到一定程度时将会碎掉。本文主要对灰姑娘对这双鞋的各种施力情况进行分析,即站立、行走和奔跑,以及玻璃鞋在各种情况下是否有可能完好不碎,并且对各种施力情况下鞋跟的最大安全高度进行了研究。

讨论

为了确定灰姑娘穿着水晶鞋移动的能力,首先从站立开始入手,使用的是压力方程:

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其中F是向下的力,相当于她的体重;A是灰姑娘脚丫的表面面积为了计算,首先要对她的体重和脚丫子大小进行假设——假定灰姑娘体重55kg,鞋子穿英国鞋码4码(相当于中国的37码,22.5cm)。故事中,灰姑娘的脚丫比她继母的女儿们要小,根据平均鞋码为6码,假设灰姑娘穿4码应该挺合理。

当站立时,假定鞋子各部分受到的向下的力是平均的,那么每只鞋承受的就是一半的体重,另外,根据参考文献1,灰姑娘脚丫子的表面积约为0.0095㎡[文献1],根据方程 1,如果27.5kg的重量平均分布于这个面积上,那么压力σ为28.4kPa。而钠钙玻璃的抗压强度为330MPa[文献2],这个数值远大于鞋子所受重力,因此,灰姑娘可以放心站着,不用担心鞋子碎了。

然而,如果灰姑娘想参加舞会,那么她就得穿着这双鞋走路,并且12点时还得撒丫子狂奔。行走和奔跑时,就会出现重量全部落在一只脚上的情况,而鞋跟首当其冲。假设这些动作会造成鞋跟45度倾斜。为了简化问题,计算弯曲应力,鞋跟作为悬臂梁,将其设为方形断面为1cm×1cm的模型[文献3]。弯曲应力的方程如下:

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结合图1和方程式2,F2 = Fsin45;c为鞋跟自然轴心的垂直距离,即0.5cm;L为鞋跟高度,是个变量;J为二次转动力矩,矩形可用下面式子进行计算:

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鞋跟的底部横截面(b)及顶部横截面(h)在此处均为1cm,惯性二次阶为1.6×0.1^9m^4。利用方程2计算行走时,鞋跟高度(横坐标)及弯曲应力(纵坐标)之间的关系,绘成图表2如下:

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图表2

根据标准弯曲测试,钙钠玻璃的弯曲强度为42-165MPa[文献2],图表2中的红色虚线表示钙钠玻璃的弯曲强度范围。因此得出,灰姑娘行走时,玻璃鞋跟高度只能在3.44cm到13.8cm之间。

奔跑时,受速度影响,鞋子受力会是灰姑娘体重的3倍[文献4],因此鞋跟受力变大,根据上述方式,绘制出奔跑时,鞋跟高度(横坐标)及弯曲应力(纵坐标)之间的关系,绘成图表3。得出鞋跟高度只能在1.15cm到4.61cm之间。

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图表3

结论

无论玻璃鞋的鞋跟多高,灰姑娘穿着它都可以站着,鞋跟不会断;而行走和奔跑时,则不然。为了确保安全,避免鞋跟断裂,弯曲应力应考虑选用最低值;也就是说为了灰姑娘午夜逃离王子怀抱时,不至于把鞋跟跑碎,水晶鞋的鞋跟高度应该低于1.15cm。这可比童话故事中矮多了。为了计算,文中进行了许多假设,如果要进一步的证明灰姑娘那双水晶鞋鞋跟的高度,应该对更多不同种类的玻璃进行计算,并且鞋跟的倾斜角度也应该有更全面的分析,这些因素都会对鞋跟的高度造成影响

参考文献

[1]http://www.p2d.co.uk/acatalog/Shoe_Size_Conversion_Chart.html /accessed on 04/10/2015
[2]http://www.makeitfrom.com/material-properties/Soda-Lime-Float-Glass /accessed on 04/10/2015
[3]http://courses.washington.edu/biomechs/lectures/lecture12.pdft /accessed on 05/10/2015
[4]http://www.barefootrunning.fas.harvard.edu/4BiomechanicsofFootStrike.html /accessed on 05/10/2015

本文译自 Journal of Physics Special Topics,由译者 大脑袋 基于创作共用协议(BY-NC)发布。


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  1. 3309908

    能根据您的文章写文章吗?谢谢

  2. 3104565

    努力一把,可以投稿物理学脑洞杂志

  3. 3100795

    原文是玻璃鞋~
    我想是大猩猩玻璃那种硬度的吧

  4. 小艾
    @2 years ago
    3098973

    她的水晶鞋是魔法变出来的,不寻常也是应该的好吗?

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