@ 2015.08.11 , 21:28
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煎蛋小学堂:巴拿赫-塔斯基悖论,谁说凭空造物不可能!

#本期略难,建议先看看介绍文字了解大概之后,再观看视频

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上面这个“吃不完的巧克力”,很多人应该都看过。但是这其实是假的。真相是这个样子的:

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重新拼出来的巧克力比之前小了一些,动图在移动时把这部分补进去了,巧克力并没有凭空变多···

但是,凭空造物这种事,真的没可能吗?

巴拿赫-塔斯基悖论(维基)告诉你一切皆有可能。巴拿赫-塔斯基定理(或称豪斯多夫-巴拿赫-塔斯基定理,又名“分球怪论”),简单说就是一个球可以分解和重新组合成两个大小、密度各方面都和原来一样的球。

聊这个定理前,先瞧瞧下面这三个小姿势:

1,什么是无穷(维基)

无穷来自于拉丁文的“infinitas”,即“没有边界”的意思。无穷并不是一个数,而是一种大小。

无穷分可数无穷和不可数无穷,格奥尔格·康托尔(维基)用对角线法(维基)证明了:不可数无穷比可数无穷更大。

2、当涉及无穷时,就会出现一些与常理直觉相悖的真理

例如偶数的个数与整数的个数一样多。

无穷÷2=无穷、无穷+1=无穷、无穷-1=无穷,这点可以用希尔伯特旅馆悖论(维基)来证明。假设有一个拥有可数无限多个房间的旅馆,且所有的房间均已客满。在这家旅馆“每个房间都客满”与“无法入住新的客人”两者
其实并不等价。客满,但是依然可以入住客人,有客人离开时依然是客满状态。

将大旅馆理论应用在圆上,就会发现圆上多个点或少个点完全没差,这点很重要

3、艾恩·史都华(维基)的超级韦氏词典。

这本词典包含由26个英文字母以任意长度和一切可能组合拼成的全部词汇。

视频里这个地方出现了这么个人:阿梅莉亚·埃尔哈特(维基):美国女性飞行员和女权运动者。她是第一位获得飞行优异十字勋章、第一位独自飞越大西洋的女飞行员。她还创了许多其他纪录,将自身的飞行经历编写成非常畅销的书籍,并协助建立了一个女飞行员组织。1937年,当她尝试全球首次环球飞行时,在飞越太平洋期间失踪。

回到词典,把所有a开头的词放在A分类下,既然是A分类,那么大家理所肯定知道这些词是以A开头的,那么印刷时,A分类下的词,词头的那个a可以省略;结果省略后发现A分类变成了包含了所有26个分类的整本词典!

好了,现在可以开始讨论巴拿赫-塔斯基悖论了

首先在球面上取一个绿色的起点,然后以一定的长度,沿着上(U)下(D)左(L)右(R)四个方向随意移动任意步骤,但是步骤中要不能有上下、下上、右左、右左这样互相抵消的步骤,因为这样会造成终点重复。每个终点以移动步骤来命名例如上上左(UUL);并且以相应的颜色进行标记:最后一次移动为“上”的点标成橙色,另外“下、左、右”则分别用蓝、紫、红来标记。

除了这些点外,每次取一个起点,会有对于的两个轴心极点,这些极点在标记过程中会被反复标记,因此单独取出来标成黄色。

反复取了无数多个起点后,球面被6种颜色填满了。然后按颜色将球拆解开。球面每个颜色的点连着它下方通往球心的一串点一起拆成一份,球心单独取出来。于是就得到了六个颜色的碎片和一个球心。

接下来就是用的超级词典的时候了。

将所有以左结尾的部分组成的左碎片,整个向右转一下,这相当于把结尾的左和右抵消了,结果得到的是以左、上、下为结尾的所有点的集合,于是这个约占1/6的碎片变成了约3/4。于是,它再加上以右结尾的碎片和轴心极点、球心,就组成了一个完整的球现在还剩下以上下结尾的碎片和起点碎片。先把上结尾的碎片中,向下翻转后会变成起点的那些点取出来和以下结尾的碎片合并到一起;剩余部分向下转动,得到以上、左、右结尾的碎片集合,然后把下并进去。那么久只缺轴心极点和球心了。然后根据无穷-1=无穷,把缺的点都填上,就得到第二个球了。

凭空造球,就这样完成了。

虽然现在我们还觉得这个理论很荒谬,不可能实现;但是许多古人认为天荒夜谈的事情,现在都已经变成现实了,或许以后有一天,巴拿赫-塔斯基分球理论也会变成日常。

本期小学堂来源:YouTube Vsauce频道。

小学堂视频:

[优酷]

视频提到的相关资料

Banach-Tarski 相关证据:
http:math.uchicago.edu/~may/REU2014...
https://www.math.hmc.edu/~su/papers.d...
http:people.math.umass.edu/~weston/...

Banach-Tarski 在线解释:
http:www.irregularwebcomic.net/2339...
http:www.kuro5hin.org/comments/2003...
http:skepticsplay.blogspot.co.uk/20...
http:austinrochford.com/posts/2014-...
http:www.math.cornell.edu/~mec/Summ...
http:rachellevanger.com/index_files...
http:quibb.blogspot.co.uk/2013_03_0...
http:blog.computationalcomplexity.o...
https://geopolicraticus.wordpress.com...
http:dgleahy.com/p47.html
https://www.math.hmc.edu/funfacts/ffi...

无穷的种类: http://www.xamuel.com/levels-of-infin...

数集理论和量子物理: http://link.springer.com/article/10.1...

相关书籍:
The Pea and the Sun: http://www.amazon.com/The-Pea-Sun-Mat...
The Outer Limits of Reason: http://www.amazon.com/Outer-Limits-Re...
Why Beliefs Matter: http://www.amazon.com/Why-Beliefs-Mat...
Things to Make and do in the Fourth Dimension: http://www.amazon.com/Things-Make-Fou...

本文译自 YouTube,由译者 小脑袋 基于创作共用协议(BY-NC)发布。


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TOTAL COMMENTS: 64+1

[2] 1 »
  1. uniling
    @1 year ago
    3213469

    兩個球的密度應該是原先的一半吧???無窮是動態的。

    一生二是很簡單的,只要做到肉眼精度不可辨認就可以了。

    實際上,99張100¥紙幣,可以通過拚接後得到100張都不完整

    但肉眼看不出來的100¥紙幣。也許這是個致富信息

  2. 3141185

    LUR、LLURR、LLLURRR、LLL…U…RRR和U都是相同的点。
    同理,在取以L、R、U、D结尾的点时,实质上是把所有的点都取了无限次。

  3. ZerQAQ
    @2 years ago
    2900453

    为什么LUR 和U不一样?

  4. fireant
    @2 years ago
    2898757

    我要变毛爷爷

  5. yaoliding
    @2 years ago
    2897755

    @Kris: 范畴论下学期才学,因为不是物理专业,没学过(没学到?)重正化,不敢说太多。。
    就现在为止AC被保留下来个人感觉就是因为够实用,对于线性空间基的存在性是否为真,个人觉得比一个自然数命题是否为真要稍微虚无一点,相比之下不算很直观了——似乎把AC表述成“任意两个集合都能比较大小”更能让人(至少我是这样)接受。
    可构造要稍微难描述些,不知道跟 可构造性公理是不是类似的?
    不过反对AC的人也死得差不多了,而且做不出多少更方便的结果,保留就保留好了。

  6. 2897396

    @yaoliding: ZF和AC本来就是兼容的。对于集合论来说如果不喜欢AC的话,可以去用范畴论的语言去描述,这对于像计算机程序这样需要实际构造数学过程的就很有用。 所以倒不是够不够用的问题,我很难想象如果严格地去剔除AC整个数学分析会变得艰难成什么样子。
    对于物理来说接不接受结果都一样,因为物理研究的问题都是实际存在的,可以观测的现实,所以都是“可构造”的(视频中的悖论都不可能在实际中存在,场论中的无穷都被重整化掉了,这个悖论刚好可以提示为何重整化是有效的)。但是研究物理的数学方法很多都是基于AC的,最基本的希尔伯特线性代数就是基于无穷向量空间存在正交基这个AC的等价定理的,替代的方法(Solovay model??) 也有,只是会麻烦很多,而且都是同样有效的。所以AC对于现实(物理学)来说是个哲学问题,它可能不对但是用起来很方便也没什么害处而且总是不能避免的。。。

  7. yaoliding
    @2 years ago
    2897159

    @nymex: 不接受数学的基础也没错,对于一般的直观上可接受的数学定理,ZF*就够用了

  8. 飘飘飘
    @2 years ago
    2896662

    我是看不太懂的

  9. 2896661

    真的有好多懂的人,你们真厉害

  10. yaoliding
    @2 years ago
    2896657

    进一步说,就算宇宙是不可细分的,我们也不会真正做到分出两个球的。
    构造的过程要用到集合论中所谓的“选择公理”,将球分出的每一块需要做实数集大小那么多次的操作才能把点都挑出来(好像是选出所有的绿色点),这种选出不可数个点的超能力相比可不可细分(至少看上去)是更难以做到的。

    原以为只是点过即止没想到大叔竟然把整个证明都讲出来了,真牛掰。。
    至于能用集合论扯到理论物理的文,个人觉得这脑洞也是开得太过了。毕竟选择公理本身是因为“在数学上很有用很方便”被保留下来的,塔斯基的原意是借此否认选择公理的

  11. 池塘
    @2 years ago
    2896656

    Micheal大叔太博学了,佩服啊,他的小学堂总是充满哲学和深度,小编翻译也辛苦了。虽然画图那段的过程看不太懂,但结论还是大概理解了,就是1=1+1,物质凭空多出来了。后面也提到了有些实验在微观层面也观察到了类似现象。也许人类永远无法解开这个谜,但我们从未停止探索。

  12. 2896653

    撕美金好像确实没关系

  13. 2896632

    @零下伊度: 最小是存在的,就是普朗克尺度,但是这和宇宙是否虚拟的毛关系

  14. 一气化鸿钧
    @2 years ago
    2896628

    让他撕个软妹币试试

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