@ 2015.01.09 , 01:15

小球思维实验:如何思考无穷?

人类的大脑很愿意去处理有限数,可一旦碰到无穷这个概念,发生的一切就开始变得完全违背人类的直觉了。

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无穷就像是数学这件外套上的一个线头:只要一扯,便发现线头不但比你想的还长,而且扯到最后外套还特么散架了,用不了多久你就浑身光溜溜站着,巴不得现在的你能把一地的散线拼回去,继续开开心心,不去管什么无穷。

然而,母们不是这种人,母们要抓住这个线头,母们要走进无穷的概念,母们要真正超越无穷。

要让一件事情无穷地发生下去其实挺难,姑且先试试吧。首先找一个盒子,再找来许多小球,给小球标上编号1、2、3、4……你猜对了,接下来我们要做的就是按照次序每次放一个小球到盒子里。不过这里有个特殊规则,如果拿放进盒子里的是平方数小球,你就要从盒子里取出一个该平方数的平方根数字对应的小球,放进抽屉里或者保险的地方。

问题马上就来了,1是平方数,可同时也是平方根,那么我们只能先放进去,然后再拿出来。接下来,开始放2号和3号。当放到4号球后,盒子里的2号球必须取出放进抽屉。接下来放5号至8号球,放进9号球,取出3号球。

下面问题来了:这样一直进行下去,盒子里最后还剩几号球?抽屉里又有多少球?

结果公布:到最后盒子里一个球也没有。

为什么?看似不合逻辑,其实随着游戏的推进,盒子里球的数量会持续上升,每次你有两种选择:【放入1颗球】/【放入1颗球,并拿出1颗球】,球的数量要么增加,要么保持不变。但是最终所有球都要进抽屉,而不是留在盒子里。

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那么什么时候盒子里开始没有球了呢?

每个数字都有对应的平方数,也就是说每个数字都是平方根数,所以最终所有球都会进放平方根的抽屉里。你放进盒子的每一只球,都有与之对应的另一个平方数球,迟早这个平方数球会被放进盒子。你放进去的球最后都会被拿出来。因为没有什么数字是大到无法平方的,所以理论上说,盒子是会空的。可是每继续一次,盒子里的球都比抽屉里多啊,这又是怎么回事?

我们之所以会这么觉得,因为在我们的认识里,无穷这个概念就像某个很大很大很大的数,但无穷不是数。无穷在数列里任何位置都是找不到的,大家似乎有这种想法——顺着数列一直往前走,数过十百千万亿,再往前走,再往前走,到最后数字便不再延续下去,就到头了。在数列的尽头,有个∞的标志,意思是说数列到此为止。

才不是这样咧。每举一个超超超超大数,都存在一个比之更大的超超超超超大数。无穷不在数列末端,无穷也不是什么终极大数。

其实无穷是用来衡量数字多少的标尺。数列没有头,所以我们说数列无穷长。想像一下所有整数,对,无穷就有这么大。一旦你停止去追寻数列,转而思考整数数列;一旦你停止思考某个甚大数,转而思考所有的数,这个时候盒子就空了。

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整数有无穷多个,每个整数又是另一个整数的平方根。不要去想放球取球,只需要一步:所有是平方根的数字都去抽屉,所有不是平方根的数字留在盒子里。最后得出盒子里一个球也没有。

我们的问题主要在于从直觉上判断无穷似乎说不通,而且不知道从何下手。也许是因为我们的大脑不喜欢处理高维度的信息,但至少我们处理低维度信息还凑合。人类的大脑很愿意去处理有限数,可一旦碰到无穷这个概念,发生的一切就开始变得完全违背人类的直觉了。理解了有限数也无法理解无穷,就好像能理解3维形状不一定能理解4维形状。我们对有限数的钟爱只能让我们面对无穷这个概念时产生虚假的安全感。在这个和我们现实世界的真实完全不再有半点联系的世界,数学逻辑是指路的唯一向导。

不依靠直觉去解决数学问题就好像乘坐潜水艇在海面下航行。回到数学的大森林,直觉能给我们领路,理解周围的世界。这时数学和我们身边的世界有直接联系。但是一旦下潜到深深的海底,四周便漆黑一片什么都看不见,走到哪里也不知道。这个时候现实世界已经消失,进入了纯粹的抽象思维世界。在潜水艇里航行,你只能完全依靠仪器的读数。同样,面对无穷,我们也只能用数学结果来领路。如果我们能够保持一丝不苟的严谨精神,对每一步进行验证,确信从各种数学工具中推断出的结论,一切都能迎刃而解。

本文译自 Boing Boing,由译者 王大发财 基于创作共用协议(BY-NC)发布。


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