@ 2015.01.09 , 01:15
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小球思维实验:如何思考无穷?

人类的大脑很愿意去处理有限数,可一旦碰到无穷这个概念,发生的一切就开始变得完全违背人类的直觉了。

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无穷就像是数学这件外套上的一个线头:只要一扯,便发现线头不但比你想的还长,而且扯到最后外套还特么散架了,用不了多久你就浑身光溜溜站着,巴不得现在的你能把一地的散线拼回去,继续开开心心,不去管什么无穷。

然而,母们不是这种人,母们要抓住这个线头,母们要走进无穷的概念,母们要真正超越无穷。

要让一件事情无穷地发生下去其实挺难,姑且先试试吧。首先找一个盒子,再找来许多小球,给小球标上编号1、2、3、4……你猜对了,接下来我们要做的就是按照次序每次放一个小球到盒子里。不过这里有个特殊规则,如果拿放进盒子里的是平方数小球,你就要从盒子里取出一个该平方数的平方根数字对应的小球,放进抽屉里或者保险的地方。

问题马上就来了,1是平方数,可同时也是平方根,那么我们只能先放进去,然后再拿出来。接下来,开始放2号和3号。当放到4号球后,盒子里的2号球必须取出放进抽屉。接下来放5号至8号球,放进9号球,取出3号球。

下面问题来了:这样一直进行下去,盒子里最后还剩几号球?抽屉里又有多少球?

结果公布:到最后盒子里一个球也没有。

为什么?看似不合逻辑,其实随着游戏的推进,盒子里球的数量会持续上升,每次你有两种选择:【放入1颗球】/【放入1颗球,并拿出1颗球】,球的数量要么增加,要么保持不变。但是最终所有球都要进抽屉,而不是留在盒子里。

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那么什么时候盒子里开始没有球了呢?

每个数字都有对应的平方数,也就是说每个数字都是平方根数,所以最终所有球都会进放平方根的抽屉里。你放进盒子的每一只球,都有与之对应的另一个平方数球,迟早这个平方数球会被放进盒子。你放进去的球最后都会被拿出来。因为没有什么数字是大到无法平方的,所以理论上说,盒子是会空的。可是每继续一次,盒子里的球都比抽屉里多啊,这又是怎么回事?

我们之所以会这么觉得,因为在我们的认识里,无穷这个概念就像某个很大很大很大的数,但无穷不是数。无穷在数列里任何位置都是找不到的,大家似乎有这种想法——顺着数列一直往前走,数过十百千万亿,再往前走,再往前走,到最后数字便不再延续下去,就到头了。在数列的尽头,有个∞的标志,意思是说数列到此为止。

才不是这样咧。每举一个超超超超大数,都存在一个比之更大的超超超超超大数。无穷不在数列末端,无穷也不是什么终极大数。

其实无穷是用来衡量数字多少的标尺。数列没有头,所以我们说数列无穷长。想像一下所有整数,对,无穷就有这么大。一旦你停止去追寻数列,转而思考整数数列;一旦你停止思考某个甚大数,转而思考所有的数,这个时候盒子就空了。

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整数有无穷多个,每个整数又是另一个整数的平方根。不要去想放球取球,只需要一步:所有是平方根的数字都去抽屉,所有不是平方根的数字留在盒子里。最后得出盒子里一个球也没有。

我们的问题主要在于从直觉上判断无穷似乎说不通,而且不知道从何下手。也许是因为我们的大脑不喜欢处理高维度的信息,但至少我们处理低维度信息还凑合。人类的大脑很愿意去处理有限数,可一旦碰到无穷这个概念,发生的一切就开始变得完全违背人类的直觉了。理解了有限数也无法理解无穷,就好像能理解3维形状不一定能理解4维形状。我们对有限数的钟爱只能让我们面对无穷这个概念时产生虚假的安全感。在这个和我们现实世界的真实完全不再有半点联系的世界,数学逻辑是指路的唯一向导。

不依靠直觉去解决数学问题就好像乘坐潜水艇在海面下航行。回到数学的大森林,直觉能给我们领路,理解周围的世界。这时数学和我们身边的世界有直接联系。但是一旦下潜到深深的海底,四周便漆黑一片什么都看不见,走到哪里也不知道。这个时候现实世界已经消失,进入了纯粹的抽象思维世界。在潜水艇里航行,你只能完全依靠仪器的读数。同样,面对无穷,我们也只能用数学结果来领路。如果我们能够保持一丝不苟的严谨精神,对每一步进行验证,确信从各种数学工具中推断出的结论,一切都能迎刃而解。

本文译自 Boing Boing,由译者 王大发财 基于创作共用协议(BY-NC)发布。


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[3] 2 »
  1. albert
    @3 years ago
    2657460

    正因为无穷数不完,所以最终盒里为零的情况不会出现。作者的思维才是误解无穷。

  2. 美食家18
    @3 years ago
    2657377

    如何思考无穷? 什么都无就是穷了。。

  3. iovejrj
    @3 years ago
    2657155

    我女朋友说,不管进行多久,只要有一个小球被放进抽屉里,(假定该球序号为n,每次拿出的n为顺序自然数)这时盒子里的球序号必为n方,盒子里球数为n方减n。所以向抽屉里拿球的动作存在时盒子必不为空。

  4. 2656996

    我就是想知道时间是不是无穷的,会不会一直走下去,如果时间不是无穷的,那他终结的时候时会怎么样?终结后又会怎样?

  5. UltramanScorpia
    @3 years ago
    2656974

    其实要理解“最后”也容易,就是用0.5秒做一步操作,0.25秒做下一步操作,0.125秒后做下一步操作,1秒后的结果是啥?

    而这个所谓“最后”结果不是前面数列的“极限”,通常问的“数列极限是什么”也不是在问的这个“最后的”结果。

  6. yaoliding
    @3 years ago
    2656795

    @yaguza: 我觉得关键还是标号吧,不能把盒子里面的每个球都看成相同的东西。
    这篇文章里面核心的东西其实数学系是不会教的了。用在理化生上面只是数学里应用的一面可以用得上吧,像概率、微分方程这些实用为目的建立的学科,它们会越来越深奥越来越抽象,但应用的目标就在那里。
    但集合论纯粹是为了数学系统严格化才建立的,现在是一门快死了的学问了,起码我不认为自然科学中会考虑到比实数连续统更大的东西了。要不是我考不进数学系其实我也不会接触到这类知识的╮(╯▽╰)╭

  7. yaguza
    @3 years ago
    2656697

    为啥从发散级数和集合的角度来理解能得到完全不同的结果?(我似乎能分别理解,但不能理解这两者间的矛盾)。不知数学专业的人能否给予简单的解释?

    我是搞生物的,很多生物问题需要运用到数学知识(从基本的到很复杂的),可惜很难找到能够合作的人(数学专业的)。很可能我提的问题都过于白痴,他们不屑于回答。但是我还是觉得很可惜。
    我记得历史上一个很好的例子是遗传学中的哈代-温伯格平衡定律(假设在没有外界环境筛选的情况下,且一个足够大的种群内部的交配是完全随机的,则基因频率与基因型频率会保持恒定并处于稳定的平衡状态。)。在今天,任何有初等数学能力的人都可以轻松得出该定律,但是当时孟德尔遗传定律被反对的一个主要原因就是生物界有大牛(数学白痴)居然认为按孟德尔定律,显性等位基因/基因型会逐渐扩张,导致种群基因型失衡,从而来反对孟德尔定律。哈代(Godfrey Harold Hardy)作为一名数学家,不惜屈尊跳出来证明了该定律,使得异议才得以平息(可以参看wiki词条)。

  8. zhifeng
    @3 years ago
    2656684

    想学经济学而考进经济学专业的学生:“这特么不是数学么?!” 想学工学而考进工学专业的学生:“这特么不是数学么?!”想学物理学而考进物理学专业的学生:“这特么不是数学么?!”想学数学而考进数学专业的学生:“这特么不是哲学么?!”想学哲学而考进哲学专业的学生:“这特么是啥?”

  9. 北逐遥
    @3 years ago
    2656665

    结论是错的,既然是“一直这样进行下去”(无穷),那么就没有“最后”,所以永远也完成不了放小球、拿小球的过程,所以小球无法计数。

  10. 2656643

    我认为很难从感性上认识高纬度的东西,对高纬的理解只是大脑形成的习惯,就像题目做多了你自然然而然地知道怎么解题一样。

  11. 贼困
    @3 years ago
    2656557

    我看到了这里,晕晕的,到此一游

  12. 唯物流氓
    @3 years ago
    2656551

    腻嘛必,妹子图没见这么多回复,单身狗啊。。。。

  13. yaoliding
    @3 years ago
    2656524

    @Ohehe: 很长一段时间都会在,但最终都会消失

  14. 2656517

    @yaoliding: 你在n+1天到n^2-1天之间放的球都不见啦

  15. yaoliding
    @3 years ago
    2656511

    @Ohehe: 要关心球的编号,最后的值和取走小球的方法有关。
    如果我一直保留1号球,第n天放n号球,而在n^2(n>1)天取走n号球,那盒子里最后会剩下一个球

  16. 2656506

    @yaoliding: 我明白你的意思了,题目问的是“盒子里最后还剩几号球?”所以计数器问题并不完全等价。
    那么我们先把问题弱化一下,盒子里最后还剩多少个球?这样计数器问题就完全等价了,不用关心球的编号了,剩余球的数目等于计数器A显示的值。那么这个值会是0吗?

  17. yaoliding
    @3 years ago
    2656499

    @Ohehe: 第一个无穷序数。小球标号可以随便标,但是操作是有顺序的。没有减法意味着推不出题目中那个盒子最后会有哪些球

  18. 2656493

    ω是啥?计数器方法没有用减法啊

  19. yaoliding
    @3 years ago
    2656490

    @Ohehe: 没有问题,但第ω天的时候A和B都会显示ω
    但是但是!序数是不可以相减的

  20. 2656488

    @yaoliding: 你是不是把规则看错了啊,我的计数器方法哪里有问题吗?

  21. yaoliding
    @3 years ago
    2656486

    不对,文章里面的那套规则最终盒子里面是没有球的,我的意思是改变一下取出的规则使得最终盒子里的球数可以是任何一个自然数

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