@ 2014.09.11 , 13:09

从握批萨的正确姿势到曲率

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这样的情况我们都遇到过:你拿起一块批萨正准备下口,批萨却软软地翻过来,毫无卖相地搭在你的手指上,稍不留神还会掉下来一块洋葱一片腊肠。哦,你意识到饼皮的硬度还不足以支撑自身的重量,是不是下次选 topping 的时候不要这么贪心了呢?不过即使你不贪心,同样的情况也会出现,并且根据人类几世纪以来吃批萨的经验,早已总结出了握批萨的正确姿势——把批萨向内弯成 U 形就好了。这样的握法甚至还有专业名词叫做“fold hold”。

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像上面那张图一样,手里悬着一张纸,它会翻转过来,可是只要弯曲一下,它就变得稳定坚固。在它和批萨饼的“特殊技巧”背后有一个关于弯曲表面令人惊讶的数学结果,而它的发现者,就是德国的数学家高斯(Carl Friedrich Gauss)。高斯将这种现象的解释命名为“Theorema Egregium”——拉丁文中“绝妙定理”的意思。

那一张纸,把它弯曲成圆筒形。很明显这张纸仍然是扁平的,而圆筒是弯曲的,但高斯却有不同看法:它想通过某种方式,明确在弯曲平面的时候的曲率。

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如果你仔细观察一只在圆筒表面爬行的蚂蚁,你会发现这只蚂蚁路线的选择有很多:沿着筒边缘走,竖直向下走或是螺旋状前进。高斯出色的想法就是,将这只蚂蚁的可选路线统统算在内。下面做一点说明:以任意点为起点,找到两条最绝对的路线(圆筒上最凹的路线和最凸的路线)。将两条路线的曲率相乘(凹面曲率为正,凸面为负,平面为 0 ),结果就是高斯所得出的定点的曲率。

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假定的蚂蚁和路线的选择

举个例子,如上图,定点上蚂蚁能选择的两条极端路线,一是曲率最高的水平圈形路径,一条则是垂直向下的路径。因为竖直向下的路径完全扁平,曲率为 0,那么不管在哪个点上怎么相乘最后的结果都为 0。对于这个结果,任何数学家都会说,这证明圆筒是平的,它的高斯曲率为 0,而高斯曲率为 0 也就意味着这样的形状可以用一张扁平的纸弯曲而成。

如果说这只蚂蚁是在一个球体表面,对它来说就没有“平”的路线可选了,而且每条路线的曲率都相同,负负得正,球体的高斯曲率就是一个正数——球体是弯曲的,圆筒是扁平的,你可以用一张纸弯成筒状,但永远不能弯成球形。

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另令高斯本人连连叫好的“绝妙定理”就是说:一只生活在某个平面上的蚂蚁,在不用走出平面的情况下仅通过测量距离和计算就能得出该平面的曲率。顺便提一句,这也是我们呆在这小小果壳内也能计算宇宙曲率的方式,而现在就人类所知,宇宙是平的

但绝妙定理的一个有趣的推论就是:你能拿着一个平面,将它弯曲成任意模样,只要你不拉伸它,不挤压收缩它或是撕碎它,它的高斯曲率都不变。因为弯曲并不能改变两点之间的距离,所以蚂蚁所选的不管是什么路线,结果都会是一样的。

听起来有些抽象?下面就是现实生活中可以尝试的例子。拿出一个橙子,切成两半,把果肉吃掉,将两片半球形放在地上,重重踩上去。橙子皮被踩扁后永远不会是一个圆形,并且永远都是破裂的。这是因为一个平面和一个半球的高斯曲率不同,你永远都不能在不撕裂球体的情况下让它成为平面。你尝试过用礼品纸包装篮球吗?试过你会有更直观的体验:礼品纸在篮球外面永远是皱巴巴的。

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另一个推论也出现了:你永远不能精确地在一张纸上描绘地图。我们习以为常的世界地图正确地绘制了角度,但一些地区则严重扭曲失真。美国数学博物馆指出,服装设计师也会面临类似的问题——在平面上被设计出来的图案需要穿在人类有弧度和线条的身体上。

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地球仪上等大小的圆圈变成平面地图上的圆圈时就会像图中一样 图片来源

但这些和批萨饼有什么关系呢?在你拿起这片批萨前,它是一个平面(从数学角度讲,它的高斯曲率为 0)。高斯的绝妙定理告诉我们:不管你怎么弯曲它,这块批萨必须至少在一个方向上是平的。当批萨像下面图一一样搭下来时,红线所指的是“平”的方向,而这样的形状显然不利于大快朵颐,而像图2一样拿,“平”的方向则会从人的手一直延伸到批萨末尾,也就是人的嘴,你实际上限制了批萨“平”的方向,绝妙定理果然绝妙。

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弯曲某一个方向,会让另一个方向坚固平整,当你接受了这样的“设定”,你会注意到它无所不在。靠近观察一棵小草的叶面,它总是在中心纹理周围弯曲,这就是为了让它在垂直方向更坚固,不会风一吹就倒下。

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工程师常常使用曲率来让结构更坚固。西班牙的结构工程师 Eduardo Torroja 在设计马德里 Zarzuela 赛道时,别出心裁地设计出了从体育场馆顶一直延伸到赛道上空的水泥屋顶,而这层屋顶只有几英寸厚,它和握批萨的现象运用的都是同一个原理。

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图片来源:Flickr

曲度象征坚固。想想这个:你可以单脚站在空易拉罐上,而易拉罐的厚度就和一张纸差不多。易拉罐稳定的秘密就就在于它的形状,一个实验可以证明:一个人站在空心易拉罐上,另一个人用一支铅笔戳易拉罐,只需要一个极小的凹陷,易拉罐的坚固性立马就会消失并且迅速地在人体的体重之下被压扁。

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还有一个非常常见的例子就是建筑中所用到的瓦楞(以及身边无所不在的瓦楞纸)。拿一个纸箱,撕开,你会发现在每张硬纸板夹层里都是波浪状的。这就是为了让纸箱既轻便又结实,并且在一定程度的负重下,不会被弯折。

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[keep_beating via Wired]


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