2009/05/23：
请用小学的方法解出这道数学题
今早起来登陆学校的BBS，赫然发现十大第一的标题是“小学数学题雷倒众人，高材生解题耗时1天1夜”（新闻来源），顿时好奇心陡升，点进去观看了一番。众网友讨论异常热烈，但我看到最后也没有瞅出一个漂亮的解法——我的意思是小学生可以运用理解的方法。题目如下：
如上图，题中给出一个正方形，边长为20，正方形里面有一个扇形和一个半圆形，求的是扇形和半圆形交叉部分a的面积。
总结一下网友的解法：
1、数格子。
2、积分，具体方法大概是以左下角为原点，求出曲线轨迹，积分相减。
3、做辅助线，运用反三角arccot2求出圆心角度数，进而求出扇形面积，接下来就迎刃而解了。见下图：
4、其它各种不靠谱，包括三等分角，四元一次方程，泰勒展开……略去不述。
上述方法固然可以把题目解出来，问题是小学生没学反三角函数、三角形全等、圆心角等知识，积分就更别提了，数格子也是不精确的方法。
那么是这道题本身太难（超出小学生能力范围）还是小学生太不行呢？看到众多学子嘲笑现在的小学生连如此简单的题目都不会做，我很费解：原本是一篇批判奥数的生动报道生生给整成了一出夹杂着炫技和鄙夷的闹剧。
亲爱的大学生们，不妨亲自动手做做试试，请用小学的方法解出这道数学题！
（煎蛋数学兴趣小组为您报道）
Update 解决方法搜集：
1、5chaos 5chaos 说 :
把图形按照20M X 20M 的比例做出来，然后撒花，400朵不多也不少
之后，数一数落在区域里面的花朵数
2、Bikman Bikman 说 :
若用小学的知识,做辅助线即可:
设正方形左下角点位点e,左上角为点f,设底边中点为点g
链接ec,fc,cg 可得到扇形fce与扇形ceg,然后量角,要是想搞的精确点可以做出两条弧线的方程连立得出坐标点,我估计也没必要.然后可由角和垂径定理得出弦ec截得的两个拱形的面积相加...
......
我有个问题,小学生学垂径定理了吗?愁了
3、Bikman Bikman 说 :
还有个方法,
按照比例制作三维模型,第三维全相等,然后浸在个装满水的小盆里然后分别测出A部分和整个模型所排开水的体积,然后按比例还原-_-!!
顺便为小学生进行节水环保教育
4、eric 说 :
俺用曹冲称象的方法行么,找个比较厚(这样体积比较容易显示)的大铁板(比水密度大,而且表面平整),裁成正方形,再按照图中那样精确画好痕迹,按照痕迹裁出那些东东,找个有刻度的量杯,把那个裁出来的东西一放,记录多出来的数值,然后把剩余部分放进去,在记录一个数值,然后呢只要会加减乘除就行了:
有用部分的体积/总体体积=有用部分面积/总体面积
之后不用提示了吧..
5、赵小裙 说 :
我的方法是用沙子铺一个一样的，再用那部分相交图案的沙子摆成方形的图案，算出面积。
6、西土城路10号 说 :
称重法：用铁皮裁剪为问题所示的正方形，用圆规描出半圆和扇形，用剪刀裁剪出a、b、c、d四大块，分别称重a块重量和整个铁皮的重量，简单用比例即可求出a的面积：
a的面积：（a＋b＋c＋d）的面积＝a的重量：（a＋b＋c＋d）的重量。如果担心一块铁皮太轻有称重误差，可以建议学生裁剪80～100块一样的铁皮，然后分别称100个a的重量和100个正方形的重量，可以有效减少误差。
7、busan 说 :
autocad,,,画好，然后敲bo命令，点a那块面积，写成封闭多段线，list下...
搞定。。小学生有电脑课程么？
不少朋友呼唤答案，其实我想说的是，在欧式几何中，这道题的结果是唯一的（S(a)=50π + 300 * arccot2 - 200，约等于96），但解题的方法不必囿于常规，并不存在一个标准的解答过程。
对于小学生而言，我觉得能够给出一个思路就很不错了，不必用结果来卡成绩。对于没有接触过反三角函数或微积分的人来说，得到一个精确值几乎是不可能完成的任务，此时面对问题的思路和点子比答案本身更有意义。
上面摘录的7种方法，有的结合了物理学知识，有的运用了计算机软件，有的借助测量仪器 （量角器），有的用带有数值积分思想的方法逼近近似值，我觉得这些都是非常棒的创意，就算得出的不是精确值，也是一种思维的碰撞。所以，我们没必要对算不出来结果的人投以鄙夷的目光，倒是应该审视一下自己到底有多少思考在里面，而不是炫耀自己能够多么熟练地运用别人发明的方法。 ₪
© 2006-2012 Jandan.net / 鄂ICP备11008023号-1 / 京公网安备1101051995(备案查询: 010-85953862) /
把a区 剪下，拼成正方形或长方形
额。。发现自己晕了。。。三角形的角度不是30。。上面结果有误。。看来还是要用三角函数了。。
100Pi-200
四分之一大圆的2/3 + 小半圆的2/3 = a+ 2倍的三角形FO1O2的面积
a=100Pi-200
@奇怪么: @腾少: @豌豆王子: @腾少: 只要答案中没有三角函数，即形如m+n*pi的答案都是错误的～
这个题目是以前的变种了
我记得小时候做的题目，下方不是一个半圆而是和上面一样的扇形，然后求两个扇形交叉的区域的面积。
这就是中国的教育啊，
说是改革，改来该去，还是老样子，变本加厉！
又算了一次发现公式错了~
正确答案是440+50pi吧~
如果这题不要求很精确 就是这样 目测啊.
目测那个重叠部分其实就是半圆的三分之二 然后去掉那么一丁点面积.那么半圆的三分之二的面积就是 [ 派*10(半径)的平方 除以2 ]* 三分之二 等于 100派/3 约等于 100多. 然后减去那一丁点面积 怎么也就 90多吧.
如果这题出多选 肯定错不了 哈哈
这个还是错了，哎
a=106
b=51
c=35
d=208
感觉这个答案说的通啊
@仓鼠: 怎讲？
这 题 出 错 了 啊
贴个解在
http://shellsnail.blogspot.com/2009/05/blog-post.html
据说blogspot河蟹掉了，煎蛋说明如下，假设知道勾三股四弦五的那个角是37度。
正方形左上角起，逆时针，令端点为ABCD; 两条弧的焦点为e, 过e向底边BC做垂线，垂足为h, 向右作垂线，在CD上的垂足为h’, 令底边BC中点为O
然后开始解：
正方形的边长是20. 添完线以后，第一步可以求出线段eh’的长度。小学同学这样看：三角形Aeo, Bhe, ehc,都是直角边1：2的三角形 所以eh是eh’的两倍，Bh又是eh的两倍；所以Bh是eh’的四倍。 又因为整个长度BC=Bh+hC=Bh_+eh’是20，所以eh’ =4。 所以三角形eho是那个(凝聚着中华民族智慧的)三角形。角eoh是53度。
然后就方便了。 一种方法是看到弧顶ec的面积是弧顶eb(下半部分)的1/4， 因为扇形ABe和扇形oCe是面积比例为4：1的扇形。所以a 区面积= 弧顶Be(上半部分)+弧顶Be(下半部分) = 弧顶Be(上半部分) +弧顶ec+3x弧顶ec = 50pi-S(ebc)+3x(53/180×50pi-S(oec)).
S(ebc) = 80, S(oec）=40. 所以 S(a) = 列式计算=95.6 (pi=3.14)
大概就是这样吧，还算是小学生可解的范围的。:-)
arctan2 确实不好求。 不过现在小学生都知道勾三股四弦五，很多做奥数的小朋友也知道对着三的那个角(约)是37度。 知道这个信息，就可以求出相当精确的解了。
设两条弧的焦点是e, 底边中点为o, 正方形中心为o’, 用小学方法可以知道 角eoo’正是37度。 这就解决了非pi有理数倍的arctan2的问题，下面就是小学奥数同学的强大拼贴能力的体现了！！！
不过即使是这样，还是要动脑筋拼贴的，大伙试试？
题目的图片误导大家，其实，当作求解两个圆相交的那块区域很容易做，初中的求伞形公式就可以了。
@ 附二
终于明白了！
转贵校bbs某著名老师的帖子：（附图欠奉，估计大家不用图也能想明白吧）
==================================
不用超过小学数学的办法，要得到精确一些的结果的话，可以考虑如下的做法…
如附图所示：
1. 在 PS 中绘制尺寸为 20*20 的方块，半径为 20 和 10 的圆形；
（或者在 PPT 中绘制之后另存为 BMP 给 PS）…
2. 用油漆桶，把中间要计算面积的部分保留白色，其它区域变纯黑。
3. 用滤镜做平均化；
4. 用滴管取得RGB颜色数值为 62,62,62 …
故需要计算的部分的面积为： ≈ 400 * 62 / 255 ≈ 97 平方厘米 :)
在半圆对面再画一个半圆啊~~
大家对数学怎么这么大的热情啊
高中最头疼的就是数学了
还有感觉跟小学生有代沟了
牛啊，我看煎蛋也挺长时间了，第一次看见回复200+的帖子！